高中圆锥曲线二级结论
椭圆上任意一点处有两条切线，如果这两条切线互相垂直，那么这两条切线一定分别是椭圆的长
轴和短轴方向。
证明如下：
设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设椭圆上某一点为 $(x_0,y_0)$，则该点处的切线方程为
$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$
对该方程求导得到斜率为 $-\frac{x_0}{a^2}\p \frac{y_0}{b^2}=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$，因此该切线的斜率与 $y$ 轴正方向的夹角为 $\theta_1=\arctan (-\frac{b^2x_0}{a^2y_0})$。
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p>另一条切线过点 $(x_0,y_0)$，与该切线垂直，设该切线方程为 $y-y_0=k(x-x_0)$，将该方程代入椭圆方程得到
$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{k^2(x-x_0)^2}{b^2}=1$
移项并整理得到
$(b^2-k^2a^2)x^2-2k^2a^2x+(k^2b^2-a^2)=0$
因为该方程有两个根，所以判别式 $4k^4a^4-4(b^2-k^2a^2)(k^2b^2-a^2)\geq 0$，即 $k^4a^4+b^4k^2-a^2b^2k^2 \leq 0$。
解得 $-b^2
\leq k^2a^2 \leq -\frac{a^2}{b^2}$，而椭圆的长轴和短轴分别为 $2a$ 和 $2b$，因此 $-\frac{a}{b} \leq k \leq \frac{b}{a}$。
因为 $\tan(\theta_1+ \theta_2)=\frac{\tan \theta_1+\tan \theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}$，所以 $\tan \theta_2=-\frac{1}{\tan \theta_1}$，即 $\tan \theta_2=\frac{a^2 y_0}{b^2 x_0}$。
因为 $
\theta_2$ 是 $y$ 轴正方向的夹角，所以 $\theta_2=\arctan \frac{a^2 y_0}{b^2 x_0}$。
因为 $\tan (\theta_1 + \theta_2) = \frac{\tan \theta_1+\tan \theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}$，所以 $\tan (\theta_1 + \theta_2) = \frac{-b^2x_0}{a^2y_0}$。
因为 $\theta_1+\theta_2$ 是 $x$ 轴正方向的夹角，所以 $\theta_1+\theta_2=\ar
ctan(-\frac{b^2x_0}{a^2y_0})$。
因此，两条互相垂直的切线分别与 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_1+\theta_2$，由上述推导可知，这两条切线分别与椭圆的短轴和长轴方向重合，因此结论成立。
圆锥曲线常用结论
曲线八大神级结论：
1、当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2、当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3、当平
面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线。
圆锥曲线的146个二级结论总结
结论汇总：
⒈若一个圆c1内含于另一个圆c2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一
椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；
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⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。
4.两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
高中抛物线二级结论
二次抛物线的拐点和转折点是它的顶点。所以二次函数的顶点坐标非常重要，在每一次考试的时候，我们都要把顶
点坐标求出来，好分析问题，然后解决问题。
椭圆的13个经典结论
与椭圆一样，双曲线的焦点三角形有很多结论，是解题的重要工具，比较常用的有：
（1）设顶角为α，则面积为b^2cot（α/2）。
（2）若顶点P在右支，则两个焦点半径分别为ex±a。
（3）焦点三角形内切圆圆心的横坐标是定值±a（看顶点P在左支还是右支）。
